1.3 集合的基本运算：核心知识点讲解

本节学习目标

学完本节，需要掌握：

• 并集、交集、全集、补集的含义和符号。
• 能用列举法、描述法、数轴和 Venn 图求集合运算结果。
• 能理解“或”“且”“不属于”在集合语言中的含义。
• 能处理区间形式的集合运算。
• 能用集合运算表达实际问题中的“至少一个”“同时满足”“不满足”。
• 能用有限集合元素个数公式解决简单计数问题。

这一节的核心问题是：已知一些集合，怎样通过运算得到新的集合？

核心知识点讲解

一、知识对象与问题情境

本节研究的对象是“集合的运算”。在前两节中，我们已经会判断“元素与集合的关系”和“集合与集合的关系”；本节进一步研究：已知集合 $A,B$，怎样通过规则生成新的集合。

常见问题情境有四类：

• 两个有限集合的合并、公共部分和剩余部分。
• 两个区间集合在数轴上的覆盖范围和重叠范围。
• 实际问题中“至少一个”“同时满足”“不满足”“只满足某一个”的集合表达。
• 有限集合中元素个数的计算，尤其是避免公共部分被重复计算。

本节最重要的学习主线可以概括为：

明确研究范围 -> 判断元素属于哪些集合 -> 选择并、交、补 -> 用图示或公式求结果

二、核心概念与定义条件

1. 并集

由所有属于集合 $A$ 或属于集合 $B$ 的元素组成的集合，称为 $A$ 与 $B$ 的并集，记作：

$$A\cup B.$$

定义为：

$$A\cup B=\{x\mid x\in A\text{ 或 }x\in B\}.$$

这里的“或”是数学中的“或”，表示：

属于 A，或者属于 B，或者同时属于 A 和 B。

例如：

$$A=\{1,3,5\},B=\{2,4,6\}.$$

则：

$$A\cup B=\{1,2,3,4,5,6\}.$$

再如：

$$A=\{\text{有理数}\},B=\{\text{无理数}\}.$$

则：

$$A\cup B=\mathbb{R}.$$

2. 交集

由所有既属于集合 $A$ 又属于集合 $B$ 的元素组成的集合，称为 $A$ 与 $B$ 的交集，记作：

$$A\cap B.$$

定义为：

$$A\cap B=\{x\mid x\in A\text{ 且 }x\in B\}.$$

这里的“且”表示：

同时属于 A 和 B。

例如：

$$A=\{2,4,6,8,10\},B=\{3,5,8,12\}.$$

则：

$$A\cap B=\{8\}.$$

3. 全集

如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，就称这个集合为全集，通常记作：

$$U.$$

全集不是固定不变的，要看具体问题的研究范围。

例如方程：

$$(x-2)(x^2-3)=0.$$

如果研究范围是有理数集 $\mathbb{Q}$，则解集是：

$$\{2\}.$$

如果研究范围是实数集 $\mathbb{R}$，则解集是：

$$\{2,\sqrt{3},-\sqrt{3}\}.$$

所以，求补集、解集时一定要先看全集或研究范围。

4. 补集

设全集为 $U$，且 $A\subseteq U$。由全集 $U$ 中不属于集合 $A$ 的所有元素组成的集合，称为 $A$ 相对于全集 $U$ 的补集，记作：

$${\complement }_{U}A.$$

定义为：

$${\complement }_{U}A=\{x\mid x\in U\text{ 且 }x\notin A\}.$$

通俗理解：

补集 = 全集中去掉 A 后剩下的部分。

三、符号语言与等价表示

集合运算的符号语言可以统一理解为“对元素 $x$ 的条件筛选”。

运算	符号定义	关键词	Venn 图理解
并集	$A\cup B=\{x\mid x\in A\text{ 或 }x\in B\}$	或、至少一个	两个圆覆盖的全部区域
交集	$A\cap B=\{x\mid x\in A\text{ 且 }x\in B\}$	且、共同、同时	两个圆的重叠区域
补集	${\complement }_{U}A=\{x\mid x\in U\text{ 且 }x\notin A\}$	不属于、剩余	全集内但 $A$ 外的区域

常见语言可以这样翻译：

题目语言	集合语言
属于 $A$ 或属于 $B$	$x\in A\cup B$
既属于 $A$ 又属于 $B$	$x\in A\cap B$
属于全集但不属于 $A$	$x\in {\complement }_{U}A$
只属于 $A$ 不属于 $B$	$x\in A\cap {\complement }_{U}B$
两个集合没有公共元素	$A\cap B=\varnothing$
$A$ 完全包含在 $B$ 中	$A\cup B=B$，且 $A\cap B=A$

四、关键性质、定理与公式

1. 并集与交集的常用性质

并集性质：

$$A\cup A=A,$$ $$A\cup \varnothing =A,$$ $$A\cup B=B\cup A.$$

交集性质：

$$A\cap A=A,$$ $$A\cap \varnothing =\varnothing ,$$ $$A\cap B=B\cap A.$$

并集和交集与包含关系的联系：

$$A\cap B\subseteq A\subseteq A\cup B,$$ $$A\cap B\subseteq B\subseteq A\cup B.$$

如果：

$$A\subseteq B,$$

则：

$$A\cup B=B,A\cap B=A.$$

反过来也成立：

$$A\cup B=B⟺A\subseteq B,$$ $$A\cap B=A⟺A\subseteq B.$$

常用性质：

$$A\cup {\complement }_{U}A=U,$$ $$A\cap {\complement }_{U}A=\varnothing ,$$ $${\complement }_{U}U=\varnothing ,$$ $${\complement }_U\varnothing =U.$$

2. 有限集合中元素的个数

含有限个元素的集合叫做有限集。

有限集合 $A$ 中元素的个数记作：

$$\mathrm{card}(A).$$

例如：

$$A=\{a,b,c\},$$

则：

$$\mathrm{card}(A)=3.$$

两个有限集合的并集元素个数公式：

$$\mathrm{card}(A\cup B)=\mathrm{card}(A)+\mathrm{card}(B)-\mathrm{card}(A\cap B).$$

理解：

A 的个数 + B 的个数 会把公共部分重复算一次，所以要减去交集的个数。

三个有限集合的计数公式可作为拓展：

$$\begin{array}{rl}\mathrm{card}(A\cup B\cup C)& =\mathrm{card}(A)+\mathrm{card}(B)+\mathrm{card}(C)\\ & -\mathrm{card}(A\cap B)-\mathrm{card}(A\cap C)-\mathrm{card}(B\cap C)\\ & +\mathrm{card}(A\cap B\cap C).\end{array}$$

五、典型模型与解题方法

1. 有限集合模型：列元素

当集合用列举法给出时，先分别列出两个集合的元素，再按要求合并或找公共元素。并集要注意互异性，公共元素只能写一次；交集只保留两个集合共同出现的元素。

2. 区间集合模型：画数轴

当集合用不等式或区间表示时，优先画数轴：

• 并集看两个区间覆盖到的全部范围。
• 交集看两个区间共同覆盖的范围。
• 补集看全集中没有被原集合覆盖的范围。
• 端点处要逐个检查开闭，不能只看大致位置。

3. 实际问题模型：先定义集合再翻译

运动会、选课、商品进货、图形分类等题目，先把对象定义成集合，再翻译题意：

至少一个 -> 并集
同时满足 -> 交集
不满足 -> 补集
只满足 A -> A 与 B 的补集相交

4. 计数模型：先填交集再填两边

有限集合计数题不要直接相加。若两个集合有公共部分，先确定 $\mathrm{card}(A\cap B)$，再用：

$$\mathrm{card}(A\cup B)=\mathrm{card}(A)+\mathrm{card}(B)-\mathrm{card}(A\cap B).$$

对于复杂题，可以在 Venn 图中先填公共区域，再填“只属于 $A$”和“只属于 $B$”的区域。

六、题型应用与迁移

本节知识常迁移到三类题：

• 集合运算题：求 $A\cup B$、$A\cap B$、${\complement }_{U}A$。
• 集合语言题：解释某个集合运算在实际问题中的含义。
• 计数应用题：根据人数、商品种类、报名项目等数据求并集或局部区域元素个数。

解题时可以用一个检查顺序：

先化简集合 -> 明确全集 -> 判断并/交/补 -> 画图辅助 -> 检查端点、重复元素和题意含义

重点梳理

重点 1：并集看“合起来”

并集 $A\cup B$ 是把两个集合的元素合在一起。

例如：

$$A=\{4,5,6,8\},B=\{3,5,7,8\}.$$

则：

$$A\cup B=\{3,4,5,6,7,8\}.$$

注意公共元素 $5,8$ 在并集中只能出现一次。

重点 2：交集看“公共部分”

交集 $A\cap B$ 是两个集合共有的元素。

例如：

$$A=\{4,5,6,8\},B=\{3,5,7,8\}.$$

则：

$$A\cap B=\{5,8\}.$$

重点 3：补集先看全集

同一个集合，在不同全集下补集可能不同。

例如：

$$A=\{1,2,3\}.$$

若：

$$U=\{1,2,3,4,5,6,7,8\},$$

则：

$${\complement }_{U}A=\{4,5,6,7,8\}.$$

如果全集变了，补集也会跟着变。

重点 4：区间运算优先画数轴

例如：

$$A=\{x\mid -1<x<2\},B=\{x\mid 1<x<3\}.$$

并集是两个区间覆盖到的全部范围：

$$A\cup B=\{x\mid -1<x<3\}.$$

交集是两个区间重叠的部分：

$$A\cap B=\{x\mid 1<x<2\}.$$

做区间题时，最好先画数轴，再看“覆盖区域”和“重叠区域”。

重点 5：实际问题先翻译成集合语言

常见语言与集合运算对应关系：

日常语言	集合语言
至少参加一项	并集
两项都参加	交集
不参加某项	补集
只参加 $A$ 不参加 $B$	$A\cap {\complement }_{U}B$
两项都不参加	${\complement }_{U}A\cap {\complement }_{U}B$

难点突破

难点 1：并集中的“或”不是“二选一”

数学中的“或”通常表示“至少一个成立”。

因此：

$$x\in A\cup B$$

表示：

$$x\in A$$

或：

$$x\in B.$$

也允许：

$$x\in A\cap B.$$

也就是说，同时属于 $A$ 和 $B$ 的元素，也属于 $A\cup B$。

难点 2：空集和全集参与运算

对任意集合 $A$，都有：

$$A\cup \varnothing =A.$$

原因：空集没有元素，合并后不会增加元素。

还有：

$$A\cap \varnothing =\varnothing .$$

原因：空集没有元素，不可能和 $A$ 有公共元素。

若全集为 $U$，则：

$$A\cup U=U,$$ $$A\cap U=A.$$

难点 3：补集与差集思想

虽然本节主要讲补集，但很多题可以用“从全集中去掉某集合”的思想理解。

例如：

$$A\cap {\complement }_{U}B$$

表示：

属于 A，但不属于 B。

这就是“只在 $A$ 中，不在 $B$ 中”的部分。

难点 4：有限集合计数不能直接相加

如果两个集合有公共元素，直接相加会重复计算。

例如：

$$A=\{\text{圆珠笔},\text{钢笔},\text{橡皮},\text{笔记本},\text{方便面},\text{汽水}\},$$ $$B=\{\text{圆珠笔},\text{铅笔},\text{火腿肠},\text{方便面}\}.$$

则：

$$\mathrm{card}(A)=6,\mathrm{card}(B)=4.$$

公共元素是圆珠笔和方便面，所以：

$$\mathrm{card}(A\cap B)=2.$$

因此：

$$\mathrm{card}(A\cup B)=6+4-2=8.$$

例题讲解

例题 1：求两个有限集合的并集

设：

$$A=\{4,5,6,8\},B=\{3,5,7,8\}.$$

求 $A\cup B$。

解析：

并集是把两个集合中的元素合起来，重复元素只写一次。

集合 $A$ 中有：

$$4,5,6,8.$$

集合 $B$ 中有：

$$3,5,7,8.$$

合并后得到：

$$3,4,5,6,7,8.$$

答案：

$$A\cup B=\{3,4,5,6,7,8\}.$$

例题 2：求区间集合的并集与交集

设：

$$A=\{x\mid -1<x<2\},$$ $$B=\{x\mid 1<x<3\}.$$

求 $A\cup B$ 和 $A\cap B$。

解析：

集合 $A$ 表示区间：

$$(-1,2).$$

集合 $B$ 表示区间：

$$(1,3).$$

并集是两个区间合起来覆盖的范围：

$$(-1,3).$$

交集是两个区间重叠的范围：

$$(1,2).$$

答案：

$$A\cup B=\{x\mid -1<x<3\},$$ $$A\cap B=\{x\mid 1<x<2\}.$$

例题 3：用集合语言表达比赛问题

设：

$$A=\{x\mid x\text{ 是高一年级参加百米赛跑的同学}\},$$ $$B=\{x\mid x\text{ 是高一年级参加跳高比赛的同学}\}.$$

求 $A\cap B$ 的含义。

解析：

$A\cap B$ 表示既属于 $A$ 又属于 $B$ 的同学。

所以：

$$A\cap B=\{x\mid x\text{ 是高一年级既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学}\}.$$

例题 4：用交集表示两条直线的位置关系

设平面内直线 $l_1$ 上点的集合为 $L_1$，直线 $l_2$ 上点的集合为 $L_2$。

用集合运算表示 $l_1,l_2$ 的位置关系。

解析：

两条直线可能相交、平行或重合。

如果 $l_1,l_2$ 相交于一点 $P$，则：

$$L_1\cap L_2=\{P\}.$$

如果 $l_1\parallel l_2$，则没有公共点：

$$L_1\cap L_2=\varnothing .$$

如果 $l_1,l_2$ 重合，则两条直线上的点完全相同：

$$L_1\cap L_2=L_1=L_2.$$

例题 5：求补集

设：

$$U=\{x\mid x\text{ 是小于 }9\text{ 的正整数}\},$$ $$A=\{1,2,3\},B=\{3,4,5,6\}.$$

求 ${\complement }_{U}A$ 和 ${\complement }_{U}B$。

解析：

先写出全集：

$$U=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}.$$

${\complement }_{U}A$ 是全集中不属于 $A$ 的元素：

$${\complement }_{U}A=\{4,5,6,7,8\}.$$

${\complement }_{U}B$ 是全集中不属于 $B$ 的元素：

$${\complement }_{U}B=\{1,2,7,8\}.$$

答案：

$${\complement }_{U}A=\{4,5,6,7,8\},$$ $${\complement }_{U}B=\{1,2,7,8\}.$$

例题 6：三角形分类中的交集与补集

设全集：

$$U=\{x\mid x\text{ 是三角形}\},$$ $$A=\{x\mid x\text{ 是锐角三角形}\},$$ $$B=\{x\mid x\text{ 是钝角三角形}\}.$$

求：

$$A\cap B,{\complement }_U(A\cup B).$$

解析：

三角形不能既是锐角三角形又是钝角三角形，所以：

$$A\cap B=\varnothing .$$

$A\cup B$ 表示锐角三角形或钝角三角形。

全集 $U$ 中除去锐角三角形和钝角三角形，剩下的是直角三角形。

所以：

$${\complement }_U(A\cup B)=\{x\mid x\text{ 是直角三角形}\}.$$

例题 7：有限集合计数

学校先举办田径运动会，某班有 $8$ 名同学参赛；又举办球类运动会，这个班有 $12$ 名同学参赛；两次运动会都参赛的有 $3$ 人。两次运动会中，这个班共有多少名同学参赛？

解析：

设：

$$A=\{x\mid x\text{ 是田径运动会参赛的学生}\},$$ $$B=\{x\mid x\text{ 是球类运动会参赛的学生}\}.$$

已知：

$$\mathrm{card}(A)=8,$$ $$\mathrm{card}(B)=12,$$ $$\mathrm{card}(A\cap B)=3.$$

要求的是：

$$\mathrm{card}(A\cup B).$$

利用公式：

$$\mathrm{card}(A\cup B)=\mathrm{card}(A)+\mathrm{card}(B)-\mathrm{card}(A\cap B).$$

代入得：

$$\mathrm{card}(A\cup B)=8+12-3=17.$$

答案：两次运动会中，这个班共有 $17$ 名同学参赛。

易错点整理

易错点 1：并集重复写公共元素

错误：

$$\{1,2,3\}\cup \{2,3,4\}=\{1,2,3,2,3,4\}.$$

正确：

$$\{1,2,3\}\cup \{2,3,4\}=\{1,2,3,4\}.$$

集合中的元素具有互异性，公共元素只能写一次。

易错点 2：把并集和交集弄反

并集看“全部”，交集看“公共”。

例如：

$$A=\{1,2,3\},B=\{3,4,5\}.$$

则：

$$A\cup B=\{1,2,3,4,5\},$$ $$A\cap B=\{3\}.$$

易错点 3：求补集时忘记全集

补集必须相对于某个全集来说。

同一个 $A$，如果全集 $U$ 不同，则 ${\complement }_{U}A$ 可能不同。

所以遇到补集题，第一步必须写出或确认全集。

易错点 4：区间端点开闭看错

例如：

$$A=\{x\mid 2\le x<4\}$$

包含 $2$，不包含 $4$。

如果：

$$B=\{x\mid x\ge 3\},$$

则：

$$A\cap B=\{x\mid 3\le x<4\}.$$

端点是否能取到，必须严格跟随不等号。

易错点 5：有限集合计数忘记减交集

错误思路：

参加 A 的有 8 人，参加 B 的有 12 人，所以共有 20 人。

问题：两项都参加的人被算了两次。

正确公式：

$$\mathrm{card}(A\cup B)=\mathrm{card}(A)+\mathrm{card}(B)-\mathrm{card}(A\cap B).$$

考点考证点整理

考点 1：求有限集合的并集和交集

• 出题思路：给出两个列举法集合，要求求 $A\cup B$、$A\cap B$，有时还会要求判断某个元素是否属于运算后的集合。
• 关键条件：集合元素具有互异性；并集中的“或”允许同时属于两个集合；交集必须是两个集合共有的元素。
• 解答要点：先圈出公共元素；写并集时把两个集合所有元素合并且重复只写一次；写交集时只保留公共元素；结果仍要写成集合形式。
• 易扣分点：公共元素在并集中重复写；把交集写成只属于其中一个集合的元素；漏写花括号；没有按集合互异性化简。

考点 2：求区间集合的运算

• 出题思路：给出两个不等式集合或区间集合，要求求并集、交集、补集，常与一元一次不等式化简结合。
• 关键条件：先把不等式化成标准范围；端点能否取到由 $\le ,\ge ,<,>$ 决定；补集必须说明全集，常见全集是 $\mathbb{R}$。
• 解答要点：先画数轴并标出空心、实心端点；并集取覆盖总范围；交集取重叠范围；补集取全集中没有被覆盖的部分；最后把图形语言转回集合语言。
• 易扣分点：端点开闭写反；不先化简不等式就直接运算；把两个不相连区间硬写成一个区间；求补集时漏掉“或”连接的两段范围。

考点 3：补集运算

• 出题思路：给出全集 $U$ 和子集 $A$，要求求 ${\complement }_{U}A$；也可能给出 ${\complement }_U(A\cup B)$、$({\complement }_{U}A)\cap B$ 等复合运算。
• 关键条件：补集必须相对于全集；只有 $U$ 中的元素才参与补集判断；若 $A\subseteq U$ 没有满足，需要先检查题设是否合理。
• 解答要点：先写出或确认全集 $U$；再从 $U$ 中删去 $A$ 的元素；复合运算按括号顺序先求内部集合，再求补集或交集。
• 易扣分点：不看全集直接说“不在 $A$ 的所有元素”；把 ${\complement }_U(A\cup B)$ 误当成 ${\complement }_{U}A\cup B$；区间补集端点开闭处理错误。

考点 4：集合语言解释实际问题

• 出题思路：用运动会报名、课程选择、商品进货、几何图形分类等情境，要求解释 $A\cup B$、$A\cap B$、$A\cap {\complement }_{U}B$ 等集合式的实际含义，或把文字条件改写成集合语言。
• 关键条件：先明确集合中的元素是什么；“至少参加一项”对应并集；“两项都参加”对应交集；“只参加 $A$”对应 $A\cap {\complement }_{U}B$；“最多参加两项”在三集合问题中对应 $A\cap B\cap C=\varnothing$。
• 解答要点：先用一句话定义 $A,B,C$ 的元素对象；再逐个翻译运算符；答案要回到实际语境，例如“参加 $100\text{ m}$ 或 $200\text{ m}$ 跑的同学”。
• 易扣分点：只写符号不解释实际含义；把“或”理解成只能选一个；没有说明全集导致“不参加”范围不清；把“最多两项”误写成“两项都不参加”。

考点 5：有限集合元素个数

• 出题思路：用运动会、选课、商品进货等情境给出 $\mathrm{card}(A)$、$\mathrm{card}(B)$、$\mathrm{card}(A\cap B)$，求 $\mathrm{card}(A\cup B)$ 或某个局部区域的人数、种数。
• 关键条件：两集合重复部分是 $A\cap B$；直接相加会把公共部分多算一次；题目问“至少一项”通常是求并集，问“只参加某项”通常是求差异区域。
• 解答要点：写出公式 $\mathrm{card}(A\cup B)=\mathrm{card}(A)+\mathrm{card}(B)-\mathrm{card}(A\cap B)$；代入前先说明每个数对应的集合区域；复杂题先画 Venn 图，并先填公共区域。
• 易扣分点：把 $A\cap B$ 又加又减错；把“只参加 $A$”当成 $\mathrm{card}(A)$；忘记题目问的是并集还是局部；Venn 图中数字代表元素个数而不是元素本身。

练习题

A 组：基础巩固

1. 已知：

$$A=\{3,5,6,8\},B=\{4,5,7,8\}.$$

求：

$$A\cup B,A\cap B.$$

2. 已知：

$$A=\{x\mid x^2-4x-5=0\},B=\{x\mid x^2=1\}.$$

求：

$$A\cup B,A\cap B.$$

3. 已知：

$$U=\{1,2,3,4,5,6,7\},$$ $$A=\{2,4,5\},B=\{1,3,5,7\}.$$

求：

$${\complement }_{U}A,{\complement }_{U}B.$$

4. 判断下列关系是否成立。

$$A\cup A=A.$$ $$A\cap A=A.$$ $$A\cup \varnothing =\varnothing .$$ $$A\cap \varnothing =\varnothing .$$

B 组：能力提升

5. 已知：

$$A=\{x\mid 2\le x<4\},$$ $$B=\{x\mid 3x-7\ge 8-2x\}.$$

求：

$$A\cup B,A\cap B.$$

6. 已知：

$$A=\{x\mid 3\le x<7\},$$ $$B=\{x\mid 2<x<10\}.$$

以 $\mathbb{R}$ 为全集，求：

$${\complement }_{\mathbb{R}}(A\cup B),$$ $${\complement }_{\mathbb{R}}(A\cap B),$$ $$({\complement }_{\mathbb{R}}A)\cap B.$$

7. 设：

$$A=\{x\mid x\text{ 是等腰三角形}\},$$ $$B=\{x\mid x\text{ 是直角三角形}\}.$$

说明 $A\cap B$ 与 $A\cup B$ 的含义。

8. 设全集：

$$U=\{x\in \mathbb{N}\mid 0\le x\le 10\}.$$

已知：

$$A\cap {\complement }_{U}B=\{1,3,5,7\},$$

且：

$$U=A\cup B.$$

如果 $A=\{1,3,5,7,9\}$，求 $B$。

C 组：综合应用

9. 某班有 $15$ 人参加游泳比赛，$8$ 人参加田径比赛，同时参加游泳和田径比赛的有 $3$ 人。问参加游泳或田径比赛的共有多少人？

10. 某超市第一次进货 $6$ 种商品，第二次进货 $4$ 种商品，两次都有的商品有 $2$ 种。两次一共进了多少种不同商品？

11. 学校开运动会，设：

$$A=\{x\mid x\text{ 是参加 }100\text{ m 跑的同学}\},$$ $$B=\{x\mid x\text{ 是参加 }200\text{ m 跑的同学}\},$$ $$C=\{x\mid x\text{ 是参加 }400\text{ m 跑的同学}\}.$$

用集合语言解释：

$$A\cup B,A\cap C.$$

如果规定每个同学最多只能参加两项比赛，应该如何用集合语言表示这个规定？

12. 已知：

$$a\in \mathbb{R},$$ $$A=\{x\mid (x-3)(x-a)=0\},$$ $$B=\{x\mid (x-4)(x-1)=0\}.$$

求 $A\cup B$ 和 $A\cap B$，并按 $a$ 的不同取值讨论。

教材习题补充

13. 教材习题 1.3 第 1 题：$A=\{x\mid 2\le x<4\}$，$B=\{x\mid 3x-7\ge 8-2x\}$，求 $A\cup B$、$A\cap B$。

14. 教材习题 1.3 第 2 题：$A$ 为小于 $9$ 的正整数集合，$B=\{1,2,3\}$，$C=\{3,4,5,6\}$，求 $A\cap B$、$A\cap C$、$A\cap (B\cup C)$、$A\cup (B\cap C)$。

15. 教材习题 1.3 第 3 题：学校运动会中 $A,B,C$ 分别表示参加 $100\text{ m}$、$200\text{ m}$、$400\text{ m}$ 跑的同学集合。每人最多参加两项比赛，写出集合语言说明，并解释 $A\cup B$、$A\cap C$。

16. 教材习题 1.3 第 4 题：$A=\{x\mid 3\le x<7\}$，$B=\{x\mid 2<x<10\}$，以 $\mathbb{R}$ 为全集，求 ${\complement }_{\mathbb{R}}(A\cup B)$、${\complement }_{\mathbb{R}}(A\cap B)$、$({\complement }_{\mathbb{R}}A)\cap B$、$A\cup ({\complement }_{\mathbb{R}}B)$。

17. 教材习题 1.3 第 5 题：$a\in \mathbb{R}$，$A=\{x\mid (x-3)(x-a)=0\}$，$B=\{x\mid (x-4)(x-1)=0\}$，求 $A\cup B$、$A\cap B$。

18. 教材习题 1.3 第 6 题：已知全集 $U=A\cup B=\{x\in \mathbb{N}\mid 0\le x\le 10\}$，$A\cap ({\complement }_{U}B)=\{1,3,5,7\}$，求集合 $B$。

练习题答案

$$A\cup B=\{3,4,5,6,7,8\},$$ $$A\cap B=\{5,8\}.$$

2. 先化简：

$$A=\{-1,5\},B=\{-1,1\}.$$

所以：

$$A\cup B=\{-1,1,5\},$$ $$A\cap B=\{-1\}.$$

$${\complement }_{U}A=\{1,3,6,7\},$$ $${\complement }_{U}B=\{2,4,6\}.$$

4. 成立；成立；不成立，正确为 $A\cup \varnothing =A$；成立。

5. 先化简 $B$：

$$3x-7\ge 8-2x$$

等价于：

$$5x\ge 15,$$

所以：

$$x\ge 3.$$

因此：

$$A=\{x\mid 2\le x<4\},B=\{x\mid x\ge 3\}.$$

所以：

$$A\cup B=\{x\mid x\ge 2\},$$ $$A\cap B=\{x\mid 3\le x<4\}.$$

$$A\cup B=\{x\mid 2<x<10\},$$

所以：

$${\complement }_{\mathbb{R}}(A\cup B)=\{x\mid x\le 2\text{ 或 }x\ge 10\}.$$

又：

$$A\cap B=\{x\mid 3\le x<7\},$$

所以：

$${\complement }_{\mathbb{R}}(A\cap B)=\{x\mid x<3\text{ 或 }x\ge 7\}.$$

因为：

$${\complement }_{\mathbb{R}}A=\{x\mid x<3\text{ 或 }x\ge 7\},$$

所以：

$$({\complement }_{\mathbb{R}}A)\cap B=\{x\mid 2<x<3\text{ 或 }7\le x<10\}.$$

7. $A\cap B$ 表示既是等腰三角形又是直角三角形的三角形，即等腰直角三角形。$A\cup B$ 表示等腰三角形或直角三角形组成的集合。

8. 由：

$$A\cap {\complement }_{U}B=\{1,3,5,7\}$$

可知 $1,3,5,7$ 在 $A$ 中但不在 $B$ 中。

又：

$$U=A\cup B,$$

所以 $U$ 中不在 $A$ 的元素必须在 $B$ 中。

已知：

$$A=\{1,3,5,7,9\},$$

因此 $0,2,4,6,8,10$ 必须在 $B$ 中。由于 $9\in A$ 且不在 $A\cap {\complement }_{U}B$ 中，所以 $9\in B$。

所以：

$$B=\{0,2,4,6,8,9,10\}.$$

$$15+8-3=20.$$

参加游泳或田径比赛的共有 $20$ 人。

$$6+4-2=8.$$

两次一共进了 $8$ 种不同商品。

11. $A\cup B$ 表示参加 $100$ m 跑或 $200$ m 跑的同学组成的集合。$A\cap C$ 表示既参加 $100$ m 跑又参加 $400$ m 跑的同学组成的集合。

“每个同学最多只能参加两项比赛”表示没有人同时参加三项比赛，即：

$$A\cap B\cap C=\varnothing .$$

12. 先化简：

$$A=\{3,a\},B=\{1,4\}.$$

当 $a=1$ 时：

$$A=\{1,3\},$$ $$A\cup B=\{1,3,4\},A\cap B=\{1\}.$$

当 $a=4$ 时：

$$A=\{3,4\},$$ $$A\cup B=\{1,3,4\},A\cap B=\{4\}.$$

当 $a\ne 1$ 且 $a\ne 4$ 时：

$$A\cup B=\{1,3,4,a\},$$ $$A\cap B=\varnothing .$$

其中如果 $a=3$，则 $A=\{3\}$，仍满足第三种情况：

$$A\cup B=\{1,3,4\},A\cap B=\varnothing .$$

13. 教材习题 1.3 第 1 题答案：由 $3x-7\ge 8-2x$ 得 $x\ge 3$，所以 $B=\{x\mid x\ge 3\}$。因此 $A\cup B=\{x\mid x\ge 2\}$，$A\cap B=\{x\mid 3\le x<4\}$。

14. 教材习题 1.3 第 2 题答案：$A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$。所以 $A\cap B=\{1,2,3\}$，$A\cap C=\{3,4,5,6\}$，$A\cap (B\cup C)=\{1,2,3,4,5,6\}$，$A\cup (B\cap C)=A\cup \{3\}=A$。

15. 教材习题 1.3 第 3 题答案：最多参加两项表示没有人同时参加三项，即 $A\cap B\cap C=\varnothing$。$A\cup B$ 表示参加 $100\text{ m}$ 或 $200\text{ m}$ 跑的同学，$A\cap C$ 表示同时参加 $100\text{ m}$ 和 $400\text{ m}$ 跑的同学。

16. 教材习题 1.3 第 4 题答案：$A\cup B=\{x\mid 2<x<10\}$，$A\cap B=\{x\mid 3\le x<7\}$。所以 ${\complement }_{\mathbb{R}}(A\cup B)=\{x\mid x\le 2\text{ 或 }x\ge 10\}$；${\complement }_{\mathbb{R}}(A\cap B)=\{x\mid x<3\text{ 或 }x\ge 7\}$；$({\complement }_{\mathbb{R}}A)\cap B=\{x\mid 2<x<3\text{ 或 }7\le x<10\}$；$A\cup ({\complement }_{\mathbb{R}}B)=\{x\mid x\le 2\text{ 或 }3\le x<7\text{ 或 }x\ge 10\}$。

17. 教材习题 1.3 第 5 题答案：$B=\{1,4\}$，$A=\{3,a\}$，但当 $a=3$ 时 $A=\{3\}$。若 $a=1$，$A\cap B=\{1\}$，$A\cup B=\{1,3,4\}$；若 $a=4$，$A\cap B=\{4\}$，$A\cup B=\{1,3,4\}$；若 $a\ne 1,4$，$A\cap B=\varnothing$，$A\cup B=\{1,3,4,a\}$，其中 $a=3$ 时仍写作 $\{1,3,4\}$。

18. 教材习题 1.3 第 6 题答案：$A\cap ({\complement }_{U}B)$ 表示在 $A$ 中但不在 $B$ 中的元素，因此 $1,3,5,7$ 不属于 $B$。又 $U=A\cup B$，所以 $U$ 中未由这部分覆盖的元素都必须在 $B$ 中，故 $B=\{0,2,4,6,8,9,10\}$。