1.1 集合的概念：核心知识点讲解

本节学习目标

学完本节，需要掌握：

• 什么是集合，什么是元素。
• 集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性。
• 如何判断一个对象是否属于某个集合。
• 常用数集 $\mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R}$ 的含义。
• 如何用自然语言、列举法、描述法表示集合。
• 如何在不同表示方法之间转换。

这一节是整章的入口。简单说，集合就是“把研究对象装进一个清楚的范围里”。后面学函数、方程、不等式、概率时，都会反复用到集合语言。

核心知识点讲解

1. 集合与元素

数学中，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。

例如：

• $1$ 到 $10$ 之间的所有偶数可以组成一个集合，其中元素是 $2,4,6,8,10$。
• 某校今年入学的全体高一学生可以组成一个集合，其中元素是每一位高一新生。
• 方程 $x^2-3x+2=0$ 的所有实数根可以组成一个集合，其中元素是 $1,2$。

通常：

• 用大写字母 $A,B,C,\dots$ 表示集合。
• 用小写字母 $a,b,c,\dots$ 表示元素。

2. 元素与集合的关系

如果 $a$ 是集合 $A$ 的元素，就说 $a$ 属于集合 $A$，记作：

$$a\in A.$$

如果 $a$ 不是集合 $A$ 的元素，就说 $a$ 不属于集合 $A$，记作：

$$a\notin A.$$

例如，设

$$A=\{2,4,6,8,10\},$$

则：

$$4\in A,3\notin A.$$

3. 集合中元素的三个特征

确定性

给定一个集合后，一个对象是否属于这个集合必须能明确判断。

例如：

• “$1$ 到 $10$ 之间的所有偶数”能组成集合，因为每个数是否属于它可以明确判断。
• “比较小的数”不能组成集合，因为“比较小”没有明确标准。

判断一个对象能否组成集合，第一步就看它是否具有确定性。

互异性

集合中的元素不能重复出现。即使写了多次，也只算一个元素。

例如：

$$\{1,1,2,2,3\}=\{1,2,3\}.$$

无序性

集合只关心有哪些元素，不关心元素写出的顺序。

例如：

$$\{1,2,3\}=\{3,2,1\}.$$

所以判断两个集合是否相等，只看元素是否完全相同。

4. 常用数集

高中数学中经常出现下面几个数集：

数集	含义	记号
自然数集 / 非负整数集	$0,1,2,3,\dots$	$\mathbb{N}$
正整数集	$1,2,3,\dots$	${\mathbb{N}}^{\ast }$ 或 ${\mathbb{N}}_{+}$
整数集	全体整数	$\mathbb{Z}$
有理数集	全体有理数	$\mathbb{Q}$
实数集	全体实数	$\mathbb{R}$

常见关系：

$$\mathbb{N}\subseteq \mathbb{Z}\subseteq \mathbb{Q}\subseteq \mathbb{R}.$$

注意：

• $0\in \mathbb{N}$。
• $-3\notin \mathbb{N}$，但 $-3\in \mathbb{Z}$。
• $\sqrt{2}\notin \mathbb{Q}$，但 $\sqrt{2}\in \mathbb{R}$。
• $\pi \notin \mathbb{Q}$，但 $\pi \in \mathbb{R}$。

5. 集合相等

如果两个集合的元素完全相同，就称这两个集合相等，记作：

$$A=B.$$

例如：

$$\{1,2\}=\{2,1\}.$$

再如：

$$\{x\mid x^2-3x+2=0\}=\{1,2\}.$$

因为方程 $x^2-3x+2=0$ 的两个根就是 $1$ 和 $2$。

6. 集合的表示方法

自然语言表示法

直接用文字描述集合。

例如：

小于 10 的所有自然数组成的集合

优点是容易理解，缺点是不够简洁。

列举法

把集合中的元素一一列举出来，并用花括号括起来。

例如，小于 $10$ 的所有自然数组成的集合可以写成：

$$\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}.$$

方程 $x^2=x$ 的所有实数根组成的集合可以写成：

$$\{0,1\}.$$

列举法适合元素个数有限，或者元素规律很清楚的集合。

描述法

用集合中元素的共同特征来表示集合。

一般形式：

$$\{x\in A\mid P(x)\}.$$

其中：

• $x$ 是集合中的代表元素。
• $A$ 是元素所在的范围。
• $P(x)$ 是元素满足的条件。
• $\mid$ 读作“使得”或“满足”。

例如，不等式 $x-7<3$ 的解集可以写成：

$$\{x\in \mathbb{R}\mid x<10\}.$$

奇数集可以写成：

$$\{x\in \mathbb{Z}\mid x=2k+1,k\in \mathbb{Z}\}.$$

有理数集可以写成：

$$\mathbb{Q}=\left\{x\in \mathbb{R}\mid x=\frac{p}{q},p,q\in \mathbb{Z},q\ne 0\right\}.$$

描述法也可以写成：

$$\{x\in A:P(x)\},\{x\in A;P(x)\}.$$

本章中最推荐掌握的标准写法是：

$$\{x\in A\mid P(x)\}.$$

重点梳理

重点 1：判断能否组成集合

判断标准是：对象是否明确。

能组成集合：

• $1$ 到 $10$ 之间的所有偶数。
• 某班全体学生。
• 方程 $x^2-3x+2=0$ 的所有实数根。
• 平面内到定点距离等于定长的所有点。

不能组成集合：

• 比较大的数。
• 高个子学生。
• 游泳能手。
• 好看的图形。

这些说法的问题是标准不确定，不同人可能有不同判断。

重点 2：列举法与描述法的选择

情况	推荐方法
元素较少且可以全部列出	列举法
元素很多或无限多个	描述法
需要强调元素共同特征	描述法
需要直观看到所有元素	列举法

例如：

$$\{x\in \mathbb{Z}\mid 10<x<20\}$$

也可以用列举法写成：

$$\{11,12,13,14,15,16,17,18,19\}.$$

但

$$\{x\in \mathbb{R}\mid x<10\}$$

不能用有限列举法写完，因为满足条件的实数有无限多个。

重点 3：描述法要写清楚范围

描述法的关键是“范围 + 条件”。

例如：

$$\{x\in \mathbb{Z}\mid 10<x<20\}$$

表示大于 $10$ 且小于 $20$ 的整数。

而

$$\{x\in \mathbb{R}\mid 10<x<20\}$$

表示大于 $10$ 且小于 $20$ 的实数。

两者完全不同。一个是有限集合，一个是无限集合。

难点突破

难点 1：为什么“比较小的数”不能组成集合

因为“比较小”没有统一标准。

例如 $100$：

• 和 $10000$ 比，$100$ 比较小。
• 和 $1$ 比，$100$ 比较大。

所以不能明确判断 $100$ 是否属于“比较小的数”这个整体，因此它不能组成集合。

难点 2：描述法中的变量只是代表元素

集合

$$\{x\in \mathbb{R}\mid x<10\}$$

和

$$\{t\in \mathbb{R}\mid t<10\}$$

表示同一个集合。

这里 $x$ 和 $t$ 都只是“代表元素”的名字，真正重要的是范围 $\mathbb{R}$ 和条件“小于 $10$”。

难点 3：同一个集合可以有多种表示方法

例如方程 $x^2-3x+2=0$ 的所有实数根组成的集合，可以表示为：

自然语言：

方程 x^2-3x+2=0 的所有实数根组成的集合

描述法：

$$\{x\in \mathbb{R}\mid x^2-3x+2=0\}$$

列举法：

$$\{1,2\}.$$

三种表示方法不同，但表示的是同一个集合。

例题讲解

例题 1：判断下列对象能否组成集合

判断下列对象的全体是否能组成集合，并说明理由。

1. $1$ 到 $10$ 之间的所有偶数。
2. 高一年级中身高较高的学生。
3. 方程 $x^2-3x+2=0$ 的所有实数根。
4. 平面内与两个定点 $A,B$ 距离相等的点。

解析：

1. 能。因为每个数是否是 $1$ 到 $10$ 之间的偶数可以明确判断。
2. 不能。因为“身高较高”没有明确标准。
3. 能。方程的实数根是确定的。
4. 能。平面内任意一点是否满足 $PA=PB$ 可以明确判断。

答案：

1. 能组成集合。
2. 不能组成集合。
3. 能组成集合。
4. 能组成集合。

例题 2：用符号 $\in$ 或 $\notin$ 填空

填空：

$$0\underline{}\mathbb{N},-3\underline{}\mathbb{N},0.5\underline{}\mathbb{Z},\sqrt{2}\underline{}\mathbb{Q},\pi \underline{}\mathbb{R}.$$

解析：

• $0$ 是自然数，所以 $0\in \mathbb{N}$。
• $-3$ 不是自然数，所以 $-3\notin \mathbb{N}$。
• $0.5$ 不是整数，所以 $0.5\notin \mathbb{Z}$。
• $\sqrt{2}$ 是无理数，不是有理数，所以 $\sqrt{2}\notin \mathbb{Q}$。
• $\pi$ 是实数，所以 $\pi \in \mathbb{R}$。

答案：

$$0\in \mathbb{N},-3\notin \mathbb{N},0.5\notin \mathbb{Z},\sqrt{2}\notin \mathbb{Q},\pi \in \mathbb{R}.$$

例题 3：用列举法表示集合

用列举法表示下列集合：

1. 小于 $10$ 的所有自然数组成的集合 $A$。
2. 方程 $x^2=x$ 的所有实数根组成的集合 $B$。

解析：

1. 小于 $10$ 的自然数包括 $0,1,2,\dots ,9$。
2. 解方程：

$$x^2=x$$

移项得：

$$x^2-x=0.$$

因式分解：

$$x(x-1)=0.$$

所以：

$$x=0\text{或}x=1.$$

答案：

$$A=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\},$$ $$B=\{0,1\}.$$

例题 4：分别用描述法和列举法表示集合

分别用描述法和列举法表示下列集合：

1. 方程 $x^2-2=0$ 的所有实数根组成的集合 $A$。
2. 大于 $10$ 且小于 $20$ 的所有整数组成的集合 $B$。

解析：

第 1 题：

用描述法表示为：

$$A=\{x\in \mathbb{R}\mid x^2-2=0\}.$$

解方程：

$$x^2=2,$$

所以：

$$x=\sqrt{2}\text{或}x=-\sqrt{2}.$$

用列举法表示为：

$$A=\{\sqrt{2},-\sqrt{2}\}.$$

第 2 题：

用描述法表示为：

$$B=\{x\in \mathbb{Z}\mid 10<x<20\}.$$

大于 $10$ 且小于 $20$ 的整数有：

$$11,12,13,14,15,16,17,18,19.$$

用列举法表示为：

$$B=\{11,12,13,14,15,16,17,18,19\}.$$

例题 5：判断两个集合是否相等

判断下列两个集合是否相等：

$$A=\{0,1\},B=\{x\in \mathbb{R}\mid x^2=x\}.$$

解析：

解方程：

$$x^2=x.$$

即：

$$x(x-1)=0.$$

所以：

$$x=0\text{或}x=1.$$

因此：

$$B=\{0,1\}.$$

所以：

$$A=B.$$

易错点整理

易错点 1：把不确定对象当成集合

错误说法：

高个子学生组成一个集合。

问题：“高个子”没有明确标准。

改法：

身高不低于 180 cm 的学生组成一个集合。

这样就具有确定性。

易错点 2：忘记自然数集包含 0

在本教材中，自然数集 $\mathbb{N}$ 是非负整数集：

$$\mathbb{N}=\{0,1,2,3,\dots \}.$$

所以：

$$0\in \mathbb{N}.$$

易错点 3：列举法漏写花括号

错误：

$$A=1,2,3.$$

正确：

$$A=\{1,2,3\}.$$

集合必须用花括号表示。

易错点 4：描述法漏写元素范围

不够严谨：

$$\{x\mid x^2=2\}.$$

更清楚：

$$\{x\in \mathbb{R}\mid x^2=2\}.$$

如果研究范围不明确，最好写出 $x\in \mathbb{R}$、$x\in \mathbb{Z}$ 等。

易错点 5：把 $\sqrt{2}$ 当成有理数

有理数可以写成两个整数之比：

$$\frac{p}{q}(p,q\in \mathbb{Z},q\ne 0).$$

$\sqrt{2}$ 不能写成这种形式，所以：

$$\sqrt{2}\notin \mathbb{Q}.$$

但：

$$\sqrt{2}\in \mathbb{R}.$$

易错点 6：忽视集合的互异性和无序性

例如：

$$\{1,2,2,3\}=\{3,2,1\}.$$

原因是重复元素只算一次，顺序不影响集合。

考点考证点整理

考点 1：判断是否能组成集合

常见问法：

下列对象的全体能否组成集合？为什么？

答题关键词：

能否明确判断每个对象是否属于这个整体。

考点 2：判断元素与集合的关系

常见问法：

用 \in 或 \notin 填空。

重点掌握：

$$0\in \mathbb{N},-1\in \mathbb{Z},\frac{1}{2}\in \mathbb{Q},\sqrt{2}\notin \mathbb{Q},\pi \in \mathbb{R}.$$

考点 3：列举法与描述法互化

常见问法：

用列举法表示下列集合。
用描述法表示下列集合。
把下列集合用另一种方法表示。

解题步骤：

1. 先看元素范围，是自然数、整数、实数还是其他对象。
2. 再找共同条件。
3. 如果元素有限且容易列出，就列举。
4. 如果元素无限或不容易列完，就用描述法。

考点 4：集合相等

常见问法：

判断两个集合是否相等。

判断标准：

元素完全相同，则集合相等。

顺序不同、重复写出，都不影响集合相等。

考点 5：由方程、不等式写集合

常见形式：

$$\{x\in \mathbb{R}\mid x^2-3x+2=0\},$$ $$\{x\in \mathbb{Z}\mid -3<2x-1<3\}.$$

做题要点：

• 方程类：先解方程，再写成集合。
• 不等式类：先解不等式，再注意元素范围。
• 范围是 $\mathbb{Z}$ 时，只能取整数。

新版考点补充一：集合能否成立的判断

• 出题思路：常给出一组对象，如“较小的数”“游泳能手”“到两定点距离相等的点”，要求判断能否组成集合并说明理由。
• 关键条件：对象是否有明确判定标准，任意一个对象能否确定地回答“属于”或“不属于”。
• 解答要点：先写“能/不能组成集合”，再用“元素具有确定性”解释；能组成集合时要指出元素是什么。
• 易扣分点：只凭生活感觉判断，不写“确定性”；把“范围模糊”的对象误判为集合。

新版考点补充二：集合表示方法互化

• 出题思路：在列举法、描述法、自然语言之间转换，常结合方程根、不等式解集、有限整数集或实际对象。
• 关键条件：元素范围是 $\mathbb{N}$、$\mathbb{Z}$ 还是 $\mathbb{R}$，集合元素是否有限且可列完。
• 解答要点：有限且元素少时用列举法；无限或不便列举时用描述法；描述法必须写清元素范围和共同特征。
• 易扣分点：漏写花括号；描述法漏写 $x\in \mathbb{Z}$ 等范围；列举时重复元素或把顺序当成区别。

练习题

A 组：基础巩固

1. 判断下列对象的全体是否能组成集合，并说明理由。

   • $1$ 到 $20$ 之间的所有奇数。
   • 高一年级中学习努力的学生。
   • 所有正方形。
   • 方程 $x^2+1=0$ 的所有实数根。

2. 用符号 $\in$ 或 $\notin$ 填空。

$$0\underline{}\mathbb{N},-5\underline{}\mathbb{Z},\frac{2}{3}\underline{}\mathbb{Q},\sqrt{3}\underline{}\mathbb{Q},\pi \underline{}\mathbb{R}.$$

3. 用列举法表示下列集合。

   • 小于 $6$ 的所有自然数组成的集合。
   • 大于 $1$ 且小于 $6$ 的所有整数组成的集合。
   • 方程 $(x-1)(x+2)=0$ 的所有实数根组成的集合。

4. 判断下列集合是否相等。

$$A=\{1,2,3\},B=\{3,2,1,1\}.$$

B 组：能力提升

5. 分别用描述法和列举法表示下列集合。

   • 方程 $x^2-9=0$ 的所有实数根组成的集合。
   • 不等式 $4x-5<3$ 的实数解集。
   • 大于 $-2$ 且小于 $4$ 的所有整数组成的集合。

6. 把下列集合用另一种方法表示。

$$\{2,4,6,8,10\}$$ $$\{x\in \mathbb{N}\mid 3<x<7\}$$ $$\{x\in \mathbb{R}\mid x^2-4=0\}$$

7. 设

$$A=\{x\in \mathbb{R}\mid x^2=x\},B=\{0,1\}.$$

判断 $A$ 与 $B$ 是否相等，并说明理由。

8. 设

$$C=\{x\in \mathbb{Z}\mid -3<2x-1<3\}.$$

用列举法表示集合 $C$。

C 组：综合应用

9. 一次函数

$$y=x+3$$

与

$$y=-2x+6$$

图象的交点组成一个集合。请用列举法表示这个集合。

10. 二次函数

$$y=x^2-4$$

的函数值组成的集合记为 $D$。请用描述法表示 $D$。

11. 判断下面说法是否正确，并说明理由。

$$\{x\in \mathbb{Z}\mid 0<x<3\}=\{x\in \mathbb{R}\mid 0<x<3\}.$$

12. 写出一个能组成集合的对象全体，再写出一个不能组成集合的对象全体，并分别说明理由。

教材习题补充

13. 教材习题 1.1 第 1 题：用符号 $\in$ 或 $\notin$ 填空。
    (1) 设 $A$ 为所有亚洲国家组成的集合，判断中国、美国、印度、英国与 $A$ 的关系。
    (2) 若 $A=\{x\mid x^2=x\}$，判断 $-1$ 与 $A$ 的关系。
    (3) 若 $B=\{x\mid x^2+x-6=0\}$，判断 $3$ 与 $B$ 的关系。
    (4) 若 $C=\{x\in \mathbb{N}\mid 1\le x\le 10\}$，判断 $8$、$9.1$ 与 $C$ 的关系。

14. 教材习题 1.1 第 2 题：用列举法表示下列集合：大于 $1$ 且小于 $6$ 的整数；$A=\{x\mid (x-1)(x+2)=0\}$；$B=\{x\in \mathbb{Z}\mid -3<2x-1<3\}$。

15. 教材习题 1.1 第 3 题：把下列集合用另一种方法表示：$\{2,4,6,8,10\}$；由 $1,2,3$ 这三个数字抽出一部分或全部数字、没有重复所组成的一切自然数；$\{x\in \mathbb{N}\mid 3<x<7\}$；中国古代四大发明。

16. 教材习题 1.1 第 4 题：用适当方法表示二次函数 $y=x^2-4$ 的函数值集合、反比例函数 $y=\frac{1}{x}$ 的自变量取值集合、不等式 $3x\ge 4-2x$ 的解集。

17. 教材习题 1.1 第 5 题：查阅集合论和康托尔相关资料，用简短报告说明你对集合论评价的认识。

练习题答案

1. 能；不能；能；能。第 2 个“学习努力”标准不确定。

$$0\in \mathbb{N},-5\in \mathbb{Z},\frac{2}{3}\in \mathbb{Q},\sqrt{3}\notin \mathbb{Q},\pi \in \mathbb{R}.$$

$$\{0,1,2,3,4,5\}$$ $$\{2,3,4,5\}$$ $$\{1,-2\}$$

4. 相等。两个集合的元素都是 $1,2,3$，顺序和重复不影响集合。

$$\{x\in \mathbb{R}\mid x^2-9=0\}=\{-3,3\}$$ $$\{x\in \mathbb{R}\mid 4x-5<3\}=\{x\in \mathbb{R}\mid x<2\}$$ $$\{x\in \mathbb{Z}\mid -2<x<4\}=\{-1,0,1,2,3\}$$

6. 示例答案：

$$\{x\in \mathbb{N}\mid x=2k,1\le k\le 5,k\in \mathbb{N}\}$$ $$\{4,5,6\}$$ $$\{-2,2\}$$

7. 相等。因为 $x^2=x$ 等价于 $x(x-1)=0$，所以 $x=0$ 或 $x=1$。

8. 由

$$-3<2x-1<3$$

得：

$$-2<2x<4,$$

所以：

$$-1<x<2.$$

又因为 $x\in \mathbb{Z}$，所以：

$$C=\{0,1\}.$$

9. 联立：

$$x+3=-2x+6.$$

解得：

$$x=1,y=4.$$

所以交点集合为：

$$\{(1,4)\}.$$

10. 因为 $x^2\ge 0$，所以 $x^2-4\ge -4$。因此：

$$D=\{y\in \mathbb{R}\mid y\ge -4\}.$$

11. 不正确。左边表示整数 $1,2$ 组成的集合：

$$\{1,2\}.$$

右边表示 $0$ 到 $3$ 之间的所有实数，是无限集合。

12. 示例：能组成集合的是“本班所有学生”，因为对象明确；不能组成集合的是“本班成绩较好的学生”，因为“较好”标准不明确。

13. 教材习题 1.1 第 1 题答案：
    (1) 中国 $\in A$，美国 $\notin A$，印度 $\in A$，英国 $\notin A$。
    (2) $-1\notin A$，因为 $(-1{)}^2\ne -1$。
    (3) $3\notin B$，因为 $x^2+x-6=(x+3)(x-2)$，集合 $B=\{-3,2\}$。
    (4) $8\in C$，$9.1\notin C$，因为 $C$ 只含 $1$ 到 $10$ 的自然数。

14. 教材习题 1.1 第 2 题答案：$\{2,3,4,5\}$；$\{-2,1\}$；由 $-3<2x-1<3$ 得 $-1<x<2$，且 $x\in \mathbb{Z}$，所以 $B=\{0,1\}$。

15. 教材习题 1.1 第 3 题答案：$\{x\in {\mathbb{N}}^{+}\mid x\le 10,x\text{ 是偶数}\}$；$\{1,2,3,12,13,21,23,31,32,123,132,213,231,312,321\}$；$\{4,5,6\}$；$\{\text{造纸术},\text{印刷术},\text{火药},\text{指南针}\}$。

16. 教材习题 1.1 第 4 题答案：$y=x^2-4$ 的函数值集合为 $\{y\in \mathbb{R}\mid y\ge -4\}$；$y=\frac{1}{x}$ 的自变量取值集合为 $\{x\in \mathbb{R}\mid x\ne 0\}$；不等式解集为 $\{x\in \mathbb{R}\mid x\ge \frac{4}{5}\}$。

17. 教材习题 1.1 第 5 题答案示例：报告应说明康托尔把“集合”从具体数集推广到一般研究对象总体，使无限集合也能被严格研究；希尔伯特的评价强调集合论对现代数学基础的推动，罗素的评价强调其思想突破。作答时围绕“集合概念的一般性、无限研究、数学基础意义”展开即可。