高一数学10月诊断练习：知识点与解题思路

专题定位

本文依据《高一年级数学学科 10 月诊断练习》的 21 道题编写。目标是把题目背后的知识整理成可重复使用的方法，而不是逐题抄写答案。每个知识点都标出对应题号，并说明“看到什么条件、调用什么知识、按什么顺序解”。同一题常同时考查几个知识点，因此题号会重复出现。

提示：第 18 题“其他成本”处被手写字迹遮挡。本文涉及的具体计算暂按题面中的 $2x$ 处理，原卷印刷值仍待清晰照片确认。其余知识与建模步骤不依赖这个具体系数。

涉及知识

题号	主要任务	对应知识点
1	否定含全称量词的命题	K01 量词、否定与反例
2	从绝对值、二次不等式得到集合差	K02 区间与集合运算；K10 不等式求解
3	判断两个表达式是否为同一函数	K05 函数三要素与定义域；K06 分段表示
4	由函数值表确定参数并求复合函数	K06 复合函数；K11 二次函数
5	比较代数式并判断恒成立不等式	K07 比较法与基本不等式
6	读取折线图，区分效率与耗油量	K08 图象与单位量；K13 实际问题建模
7	判断充分、必要条件	K01 条件关系；K07 基本不等式
8	使用海伦—秦九韶公式求面积最值	K09 三角形面积；K07 基本不等式
9	含参数不等式恰有一个整数解	K10 不等式与整数解；K12 参数分类
10	用特征函数表示集合运算	K04 特征函数；K02 交、并、补
11	实数集中的补集	K02 区间与集合运算
12	根式中分式的定义域	K05 定义域；K10 分式不等式
13	分段函数的复合求值与方程	K06 分段与复合；K05 定义域
14	集合元素互异性与交集限制	K03 有限集合与分类枚举；K02 集合运算
15	用反例推翻命题	K01 反例；K07 不等式比较
16	有限集合的划分与基数限制	K03 有限集合与分类枚举；K02 补集
17	含参数集合与补集的关系	K02 集合运算；K10 不等式；K12 参数分类
18	分段产量、利润建模与最大值	K13 实际问题建模；K06 分段；K11 最值；K07 基本不等式
19	二次函数恒非负与含参数不等式	K11 二次函数；K10 不等式；K12 参数分类
20	由差分确定二次函数，求区间最值及恒成立参数	K14 系数比较；K11 区间最值；K12 恒成立
21	集合递推、逆向构造与不变量	K15 递推集合；K03 元素与基数

核心概念

K01　量词、命题否定、充分必要条件与反例

对应题号：1、7、15。

“任意 $x$ 满足 $P(x)$”的否定是“存在一个 $x$ 不满足 $P(x)$”；否定时，变量范围保持不变，量词和结论都要变。形式上，$\neg (\forall x\in D,P(x))$ 等价于 $\exists x\in D,\neg P(x)$。例如“对所有 $x>0$，$F(x)\le 0$”的否定为“存在 $x>0$，$F(x)>0$”。

若命题 $P\Rightarrow Q$ 成立，则 $P$ 是 $Q$ 的充分条件，$Q$ 是 $P$ 的必要条件。判断“充分不必要”要做两件事：证明 $P\Rightarrow Q$，再找一个满足 $Q$ 而不满足 $P$ 的反例。要否定“只要……就……”这样的全称命题，只需给出一组满足前件、违反后件的数；反例必须同时满足题目所有限制，例如“实数”“正数”“严格大小关系”。

解题思路

先写清原命题的前件、后件和变量范围；检查正向蕴含，再检查逆向蕴含；找反例时优先尝试边界、负数、零或不对称数值。第 15 题可测试 $a=-1,b=-2,c=-3$：它满足 $a>b>c$，却有 $a^2=1<bc=6$。

K02　集合表示、区间、交并补与集合差

对应题号：2、10、11、14、16、17、21。

解题前先指定全集。数集可以用描述法、不等式或区间表示；区间端点的开闭由严格或非严格不等号决定。$A\cap B$ 要同时满足两个条件，$A\cup B$ 满足至少一个，${\complement }_{U}A$ 是全集 $U$ 中不属于 $A$ 的元素。集合差满足 $B\setminus A=B\cap {\complement }_{U}A$。

补集与交并的德摩根律是 ${\complement }_U(A\cup B)={\complement }_{U}A\cap {\complement }_{U}B$、${\complement }_U(A\cap B)={\complement }_{U}A\cup {\complement }_{U}B$。处理“并集不是全集”时，可转写为“存在元素不在并集中”，例如 $C\cup {\complement }_{U}B\ne U$ 等价于 $B\setminus C\ne \varnothing$。这一步能把复杂的补集式转成直观的区间位置问题。

解题思路

把每个集合先化成区间或明确列举元素；在数轴上按端点切段；对每段检查属于哪些集合；最后逐一核对端点。第 2 题中 $A=(-2,4)$、$B=(-2,5)$，题设要求的是 $B\setminus A$，不能把“$a\notin A$ 且 $a\in B$”读反。

K03　有限集合：元素互异、基数与分类枚举

对应题号：14、16、21。

集合不记录重复元素，因而 $\{a,|a|,a^2\}$ 的元素个数可能小于 $3$。$\mathrm{card}(A)$ 表示集合 $A$ 的实际元素个数。若 $A\cup B=U$ 且 $A\cap B=\varnothing$，则 $B={\complement }_{U}A$；有限集还满足 $|A|+|B|=|U|$。

“交集恰为 $\{2\}$”包含两个要求：$2$ 必须出现，其他属于另一个集合的元素不得出现。不能只满足前半句。枚举集合时先用基数和禁入条件锁定必有元素，再列出剩余候选，并把每个候选代回所有条件。第 16 题中，若 $|A|=2$，则 $2\notin A$；又因 $|B|=3$ 且 $3\notin B$，所以 $3\in A$，这会大幅减少枚举量。

解题思路

先求各集合的基数；把“$k\notin A$”转成对元素 $k$ 的去向限制；列候选；最后同时复核并集、交集和基数限制。递推集合题还要留意：新生成的两个数可能相等，也可能与未删除的旧元素重合，集合大小未必恒定。

K04　特征函数与集合运算的代数化

对应题号：10。

特征函数 $f_A(x)$ 在 $x\in A$ 时为 $1$，否则为 $0$。它把集合判断转成 $0/1$ 运算：$f_{{\complement }_{U}A}=1-f_A$；$f_{A\cap B}=f_A{f}_B$；$f_{A\cup B}=f_A+f_B-f_A{f}_B$。并集式必须减去重叠处的一次计数；若只写 $f_A+f_B$，在 $x\in A\cap B$ 时会得到 $2$。

解题思路

不要先死记公式。把 $x$ 分为“两个集合都不在、仅在 $A$、仅在 $B$、两个都在”四种情况，列出 $f_A,f_B$ 的 $0/1$ 值，逐项检验候选式。子集关系 $A\subseteq B$ 也可逐点改写成 $f_A(x)\le f_B(x)$。

K05　函数三要素、同一函数与定义域

对应题号：3、12、13、18。

判断两个函数是否相同，首先比较定义域和在该定义域上每个自变量对应的函数值；表达式看似相同仍可能不是同一函数。例如约去 $x-1$ 后的式子与 $x+1$ 在代数上相等，但前者原定义域排除 $x=1$。$\sqrt{x^2}=|x|$，并非对一切实数都等于 $x$。

定义域由所有限制共同决定：偶次根号内非负；分母非零；复合函数 $f(g(x))$ 还要求 $x$ 属于 $g$ 的定义域且 $g(x)$ 属于 $f$ 的定义域。对 $\sqrt{(x-2)/(x+1)}$，应同时满足 $(x-2)/(x+1)\ge 0$ 和 $x\ne -1$，不能只看分子或只看根号。

解题思路

逐个列限制式，求它们的交集；化简表达式之前保留原式的禁值；判断同一函数时按“定义域→对应关系”两关检查。分式不等式用零点、禁点把数轴分段，再判每段符号。

K06　分段函数、复合函数与逐层代入

对应题号：3、4、13、18。

分段函数是一个函数，必须把各分支的适用范围一起记录。求 $f(f(x_0))$ 时，先按 $x_0$ 所在分支算出内层值，再根据这个新值选择外层分支。解 $f(x)=c$ 时则每个分支分别求候选解，最后用该分支的区间筛选。

复合函数 $f(g(m))$ 的顺序是先 $g(m)$、后 $f$；不能把 $f(g(m))$ 误作 $g(f(m))$。若题目给出几个函数值，应把条件作为方程组一起使用，例如第 4 题需同时满足 $f(m)=8$ 和 $g(m)=4$，不能只靠一个条件选 $m$。

解题思路

在草稿上画出“输入 $\to$ 内层输出 $\to$ 外层输出”的箭头；每次代入前标明所用分支；解方程后检查区间条件及分界点是否包含。第 18 题还须分别研究两个成本区间的利润，再比较各段最大值。

K07　比较法、平方差与基本不等式

对应题号：5、7、8、15、18。

比较两个式子，优先看差、比或平方差，并核实做除法与平方时的符号条件。对正数 $u,v$，$u+v\ge 2\sqrt{uv}$，等价于 $uv\le ((u+v)/2{)}^2$；等号当且仅当 $u=v$。当 $u\ne v$ 时，$u/v+v/u-2=(u-v{)}^2/(uv)>0$。

基本不等式求最值需同时检查三件事：参与比较的量非负；题设是否固定和或积；等号对应的变量值是否落在原定义域。第 7 题由 $a+b\le 4$ 可推出 $ab\le ((a+b)/2{)}^2\le 4$；反向不成立，需要反例。第 18 题的 $108/x+3x\ge 36$ 只在 $x>0$ 下使用，等号条件为 $x=6$。

解题思路

先写出可用的正值条件，再选择“作差”或“基本不等式”；求出形式上的界后，必须检查等号能否取到。比较命题的真假时，一个违反题意的数值例子不能算反例。

K08　统计图中的函数值、单位与比率

对应题号：6。

“燃油效率”是每升汽油行驶的千米数，单位为 km/L。行驶距离 $d$ 与耗油量 $L$ 的关系是 $L=d/E(v)$，其中 $E(v)$ 为速度 $v$ 下的效率。比较相同路程的耗油量时，效率越高，耗油越少；不能把效率较高理解为耗油较多。

折线图读取要先看横纵轴、单位和车名，再把题干限制到允许的速度范围。含“最多”的说法，要在全图范围内寻找该车曲线最高点；含限速的说法，只能比较限速以内的部分；含“以某速度行驶一小时”的说法，先用速度乘时间得距离，再除以效率。

解题思路

把文字断言改写为 $E(v)$、$d=vt$、$L=d/E(v)$ 的关系；按速度在图上读值；用单位检查计算结果。原卷照片上的点位没有逐点数值标注，重绘图应主要用于判断相对高低和趋势，不宜据此声称额外精确数据。

K09　海伦—秦九韶公式与三角形面积最值

对应题号：8。

边长 $a,b,c$ 构成三角形的前提是任意两边之和大于第三边。令半周长 $p=(a+b+c)/2$，则面积满足 $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$。如果边长的和固定，往往可先固定 $p$，再把待优化的两个因子整理为“和固定、积求最大”的形式。

第 8 题有 $a=4$、$b+c=6$，所以 $p=5$，$S^2=5(5-b)(5-c)$，且 $(5-b)+(5-c)=4$。两项相等时乘积最大，对应 $b=c=3$；还须检查 $3,3,4$ 确实能构成三角形。先优化 $S^2$ 是因为 $S\ge 0$，平方函数在非负数上递增。

解题思路

先验三角形条件→算半周长→化简根号内乘积→用基本不等式求界→验等号构型。

K10　不等式求解：二次、分式、含参数与整数解

对应题号：2、9、12、17、19。

二次不等式常用因式分解、判别式和开口方向；分式不等式必须标记分母为零的禁点。若题目要求“恰有一个整数解”，不能只求实数区间，还要判断区间跨过哪些整数。开区间端点恰好等于整数时，该整数不计入解集。

第 9 题可整理为 $(x-1)((a-1)x-1)<0$，据此先观察 $x=1$ 永远不是解，再研究相邻整数何时进入解集。对参数分类时先查会改变二次项符号或使其消失的临界值；例如 $a=1$ 时式子退化为一次不等式，不能继续套二次函数开口法。

解题思路

移项到一边→因式分解或找零点→按参数临界值分类→画数轴求实数解集→统计整数解并核对边界。求根式定义域时，先把被开方的分式看成一个整体求非负区间。

K11　二次函数图象、顶点与闭区间最值

对应题号：4、18、19、20。

当 $a\ne 0$，$a{x}^2+bx+c=a(x+b/(2a){)}^2+c-b^2/(4a)$，顶点横坐标为 $-b/(2a)$。开口向上时顶点给全域最小值，开口向下时给全域最大值。闭区间最值还要比较端点：若顶点在区间内，最小值或最大值可能出现在顶点；另一端的极值仍可能在端点。

若顶点位置含参数，应将“顶点在区间左侧、区间内、区间右侧”分开。对于凸二次函数，闭区间上的最大值必在端点；对于凹二次函数，闭区间上的最小值必在端点。若区间某端不包含在定义域内，还要区分“可以逼近的上界”与“实际取到的最大值”。第 18 题第一段利润在 $[0,3]$ 上是开口向上的二次函数，因此只需比较两端；第二段则应另行求界，不能跨分段点直接使用一个最值公式。

解题思路

先确定开口与顶点，再判断顶点和区间的位置关系；列出所有可能的候选点并代回原函数；如果函数分段，最后跨区间比较。第 20 题第（2）问中 $g(x)=x^2-(k+1)x+1$ 的顶点随 $k$ 移动，所以要分类，而非只用顶点值。

K12　含参数的恒成立、存在性与边界分类

对应题号：9、17、19、20。

“对所有 $x\in D$，$F(x,a)\ge 0$”要求 $F$ 在整个 $D$ 上的下界非负；“存在 $x\in D$”只要找到一个合格点。对所有实数恒非负的 $a{x}^2+bx+c$，若 $a>0$，需判别式 $\Delta \le 0$；若 $a=0$，则只有 $b=0,c\ge 0$ 的常数情形可行；$a<0$ 不可行。若二次项系数可能为 $0$，必须先检查退化情形，不能直接套判别式。

参数可能影响开口、根的顺序、顶点位置、区间是否为空和端点能否取到。第 17 题的 $B=(b+2,2b)$ 只有在 $b>2$ 时非空。第 19 题第（2）问因式分解后含根 $-1$ 与 $2/a$，在 $a<0$ 内还要以 $a=-2$ 为界确定两根次序。

解题思路

先找所有“结构改变点”；分情形写清定义域、开口与端点；每一类独立求解；最后把边界值代回原题检查。处理区间恒成立时，可以把参数移到一侧，转为求辅助函数在区间上的最小值或最大值。

K13　从情境文字建立函数模型

对应题号：6、18。

设产量为 $t(x)$ kg、售价为 $p$ 元/kg、肥料成本为 $x$ 元、其他成本为 $c(x)$ 元，则利润是 $f(x)=pt(x)-x-c(x)$。式中每一项单位都应为“元”。若 $t(x)$ 分段，$f(x)$ 必须沿用相同的区间；还要注意端点、实际成本的非负限制与题目给出的上界。

按第 18 题现有题面的 $p=6,c(x)=2x$，第一段可写成 $f(x)=6(x^2+40)/4-3x$，第二段可写成 $f(x)=6(15-18/x)-3x$。这里按现有题面展示建模：如原卷被遮挡处并非 $2x$，只需替换 $c(x)$，再重新求两段最值。第 6 题同样是在读完单位后建立“路程÷效率＝耗油量”的模型。

解题思路

列变量与单位→写“收入－全部成本”或“距离÷效率”→保留题目的定义域→逐段化简→求各段候选最值→回到情境解释单位与取值。

K14　由函数恒等式确定系数

对应题号：20。

若两个多项式对所有允许的 $x$ 恒相等，则同次幂的系数必须相等。对 $f(x)=a{x}^2+bx+c$，有 $f(x+1)-f(x)=2ax+(a+b)$。它若恒等于 $2x$，就应同时比较一次项和常数项，而不是代入一两个特殊值后猜函数。

第 20 题先由 $f(0)=1$ 得 $c=1$，再由恒等式得 $2a=2$、$a+b=0$，从而确定 $f$。第（2）（3）问必须基于这一结果分别做闭区间最值和恒成立分析。

解题思路

展开表达式→按 $x^2,x,1$ 整理→逐项列方程→求系数→代回原条件验算；不要漏掉“对所有 $x$”这一恒等条件。

K15　集合递推：操作定义、逆向构造与不变量

对应题号：21。

每一步从当前集合取两个不同元素 $u,v$，删除它们，再加入 $u+v$ 与 $uv$。关键不是只算新数，而是同时弄清剩余旧元素、重复值和新集合的基数。写成 $T_k=(T_{k-1}\setminus \{u,v\})\cup \{u+v,uv\}$ 更容易检查操作。

判断目标集合能否到达，可先找不变量或必有性质。正整数 $u,v$ 不可能使 $u+v$ 与 $uv$ 同时为奇数：若两者都奇，则 $u,v$ 都奇，和却为偶。因此每次操作后的集合至少含一个偶数；若目标集合全为奇数，就可直接排除。构造题则可逆向寻找可能由同一对 $u,v$ 产生的“和 $s$、积 $p$”：方程 $z^2-sz+p=0$ 须有两个正整数根，即 $s^2-4p$ 为非负完全平方数，并满足根的奇偶与目标中其他元素的限制。

解题思路

先做一轮具体操作以理解定义；问“能否存在”时先查奇偶、范围、基数等必要性质；问“如何构造”时从目标集合中猜最后生成的和与积，逆向求旧元素；每次逆推后再正向复核整条链。

知识网络

1. 逻辑与集合：量词和条件关系（K01）决定怎样读题；区间、交并补（K02）把条件整理成集合；有限集合枚举（K03）和特征函数（K04）是两种进一步的处理方式。
2. 函数：先核实定义域与同一性（K05），再做分段与复合（K06）；图象和实际单位（K08）帮助把函数值解释回情境。
3. 不等式与最值：比较法和基本不等式（K07）、二次不等式（K10）、二次函数最值（K11）共同支撑参数恒成立（K12），并应用于三角形面积（K09）与利润模型（K13）。
4. 综合题：系数比较（K14）先确定函数；递推集合（K15）侧重操作定义、必要性质和逆向构造。

关键性质与公式

知识	公式或判据	使用前检查
命题否定	$\neg (\forall x\in D,P(x))⟺\exists x\in D,\neg P(x)$	变量范围 $D$ 不变
集合差	$B\setminus A=B\cap {\complement }_{U}A$	全集 $U$ 已明确
德摩根律	${\complement }_U(A\cup B)={\complement }_{U}A\cap {\complement }_{U}B$	交并与补集同时正确变换
特征函数	$f_{A\cup B}=f_A+f_B-f_A{f}_B$	重叠元素不可算两次
均值不等式	$u+v\ge 2\sqrt{uv}$	$u,v\ge 0$，等号 $u=v$
海伦—秦九韶公式	$S^2=p(p-a)(p-b)(p-c)$	三边满足三角形不等式
二次函数顶点	$x_0=-b/(2a)$，$y_0=c-b^2/(4a)$	$a\ne 0$；区间最值仍需验端点
全域非负	$a{x}^2+bx+c\ge 0$ 对所有实数成立：$a>0,\Delta \le 0$，或退化时单独检查	二次项系数可能为 $0$ 时先分类
分式非负	分子、分母同号或分子为 $0$ 且分母非零	分母零点必须排除
利润	$\text{利润}=\text{售价}\times \text{产量}-\text{全部成本}$	单位一致，定义域保留
递推逆推	若 $s=u+v,p=uv$，则 $u,v$ 为 $z^2-sz+p=0$ 的根	根须为允许的正整数

典型题型

题型信号	应调用的知识	首要动作
“否定是”“假命题的一组值”	K01	改变量词或构造满足前件的反例
“$a\in B$ 且 $a\notin A$”	K02	写成 $B\setminus A$，画数轴
“表示同一函数”	K05	先比定义域，再比对应关系
“$f(f(x))$”“$f[g(x)]$”	K06	先内后外，每层检查分支
“充分必要条件”	K01、K07	双向证明；失败方向给反例
“最大面积”“最大利润”	K07、K09、K11、K13	建模后检查区间、端点与等号
“恰有一个整数解”	K10、K12	解实数区间，再数整数并查开闭端点
“对所有 $x$ 恒成立”	K11、K12	转成区间极值或判别式条件
“是否存在若干步变换”	K15	先找不变量，再考虑逆向构造

解题方法

这张卷子的综合题可共用一套检查顺序：

1. 翻译条件：把“不属于”“所有”“存在”“最多”“至少”准确改写成集合、量词或不等式。
2. 确定范围：写出全集、定义域、分段区间、正负条件，以及参数使某区间非空的条件。
3. 挑选工具：集合题用数轴或元素表，函数题用图象和配方，不等式题用因式分解与符号表，最值题比较顶点、端点和等号点。
4. 处理边界：严格不等号、分母零点、分段交界、顶点落在区间端点、二次项退化、根相等，都应单独回代。
5. 回到原题：检查候选值是否满足所有原条件；实际应用题再核对单位和取值是否合理。

例题精讲

例 1：第 2 题——集合差先于选项判断

$|x-1|<3$ 给出 $A=(-2,4)$；$x^2-3x-10=(x-5)(x+2)<0$ 给出 $B=(-2,5)$。题目要求 $a\notin A$ 且 $a\in B$，所以只取 $B$ 内位于 $A$ 外的部分，得到 $[4,5)$。这里 $4$ 在 $B$ 内且不在 $A$ 内，$5$ 不在 $B$ 内；端点检查比直接看选项更可靠。

例 2：第 9 题——整数解与参数边界

把原不等式化为 $(x-1)((a-1)x-1)<0$。$x=0,1$ 都不可能成为解。若 $a>1$，负整数不解，正整数 $n\ge 2$ 成为解的条件是 $n<1/(a-1)$。恰有 $n=2$ 而没有 $n=3$，对应 $2<1/(a-1)\le 3$，整理为 $4/3\le a<3/2$。若 $a\le 1$，会出现不止一个正整数解，因此排除。关键是将“恰有一个”转成“一个指定整数满足、相邻整数不满足”，并核对严格端点。

例 3：第 18 题——分段利润逐段比较

以下暂按第 18 题“其他成本为 $2x$”计算。利润为 $f(x)=6t(x)-3x$。在 $0\le x\le 3$，$f(x)=\frac{3}{2}{x}^2-3x+60$，开口向上，区间最大值在端点，比较 $f(0)=60$ 与 $f(3)=\frac{129}{2}$。在 $3<x\le 10$，$f(x)=90-108/x-3x$；由 $108/x+3x\ge 36$ 得这一段最大值为 $54$，等号在 $x=6$ 可取。最后跨两段比较，按当前题面全局最大值在 $x=3$。若遮挡处的原印刷成本不是 $2x$，需重做这一数值比较。

例 4：第 19 题——“全体实数”与参数分类

对 $f(x)=a{x}^2+(a-2)x+1/4$，先排除 $a=0$：此时是斜率不为零的一次函数，不可能对所有实数非负。对 $a>0$，令判别式 $\Delta =(a-2{)}^2-a=(a-1)(a-4)$，要求 $\Delta \le 0$，所以 $a\in [1,4]$。第（2）问可分解 $f(x)-9/4=(x+1)(ax-2)$；在 $a<0$ 时，再按 $a<-2$、$a=-2$、$-2<a<0$ 比较 $-1$ 与 $2/a$ 的位置。

例 5：第 20 题——先定函数，再做区间恒成立

$f(0)=1$ 给出 $c=1$；比较 $f(x+1)-f(x)=2ax+a+b$ 与 $2x$ 的系数，得 $a=1,b=-1$，即 $f(x)=x^2-x+1$。第（3）问把原式移项为 $-m{x}^2+(m+1)x+2\ge 0$。在 $x=1$ 时左边恒为 $3$；对 $1<x\le 4$，可化为 $m\le (x+2)/(x(x-1))$。在 $[1,4]$ 上，$(x+2)/(x(x-1))\ge 1/2$（仅在 $x>1$ 比较），因为它等价于 $(4-x)(x+1)\ge 0$；等号在 $x=4$ 取得，因此参数需满足 $m\le 1/2$。求完参数后应把边界 $m=1/2$ 代回验证。

例 6：第 21 题——先找必有性质

任取正整数 $u,v$，若 $u,v$ 都是奇数，则 $u+v$ 为偶数；若至少一个为偶数，则 $uv$ 为偶数。所以新加入的 $u+v,uv$ 中必有偶数，第 $k\ge 1$ 步后的集合必含偶数。要到达一个全部由奇数组成的目标集合，不必穷举操作序列即可排除。若目标集合包含偶数，不能据此断定一定可达，还须逆向寻找可能的“和—积”数对并正向验证。

易错点

易错处	为什么错	对应题号
否定量词时顺便改变 $x$ 的范围	否定只改量词与结论，原论域保持不变	1
把 $a\notin A,a\in B$ 看成 $A\setminus B$	实际是 $B\setminus A$	2
约分后忘记原分母零点	新旧表达式的定义域可能不同	3、12
复合函数从外往内算	必须先得到内层输入值	4、13
用基本不等式却不检查等号可取性	得到的可能只是达不到的上界或下界	5、8、18
把“效率高”解释成“耗油多”	同路程下耗油量与效率成反比	6
只证明一个方向就判定“充要”	充要需要两个方向均成立	7
数实数解区间时忽视整数端点开闭	“恰有一个整数解”对边界极敏感	9
用 $f_A+f_B$ 表示并集	交集中的点会被计数两次	10
集合中重复元素仍按多次计数	集合的元素互异	14、16、21
忽略区间为空、二次项为零等退化情况	原有求解公式可能失效	17、19、20
分段最值只算一段，或把一段的等号点放到另一段	全局最大值须比较所有允许区间	18
只靠“奇偶条件允许”就断言递推目标可达	必要条件不是充分条件	21

考法总结

• 基础识别（1—5、10—16）：重点是读准符号、定义域、端点和集合元素互异性。这里的失分多来自翻译题意，而非繁重计算。
• 综合推理（7—9、17、19—21）：一题常跨两个知识点；先分清充分与必要、恒成立与存在、必要性质与可构造性，再做代数运算。
• 情境建模（6、8、18）：图象单位、三角形构型、收益与成本都要与数学式双向对应。答案必须回到原情境检查是否可取。
• 复习顺序建议：先练 K01—K06 的符号与定义域，再练 K07、K10—K12 的不等式和最值，最后做 K13—K15 的综合题。

专题练习

1. 否定命题“任意 $x\ge 0$，都有 $x^2-x+1>0$”，写出量词、范围和结论的变化。
2. 设 $A=[-1,3)$、$B=(1,5]$，求 $B\setminus A$ 与 ${\complement }_{\mathbb{R}}(A\cup B)$。
3. 判断 $f(x)=x+2$ 与 $g(x)=(x^2-4)/(x-2)$ 是否为同一函数，并说明原因。
4. 正数 $u,v$ 满足 $u+v=10$，求 $uv$ 的最大值并写出等号条件。
5. 求 $\sqrt{(x+1)/(x-2)}$ 的定义域。
6. 求实数 $k$ 的范围，使 $x^2-2kx+4\ge 0$ 对所有实数 $x$ 成立。
7. 一辆车以 $60$ km/h 行驶 $2$ 小时，该速度下燃油效率为 $12$ km/L，求耗油量。
8. 某一步集合操作把两个正整数 $u,v$ 变成和 $13$ 与积 $40$。求 $u,v$，并说明如何验证它们可作为逆推候选。

练习答案与解析

1. “存在 $x\ge 0$，使 $x^2-x+1\le 0$。”论域 $x\ge 0$ 保持不变。
2. $B\setminus A=[3,5]$；$A\cup B=[-1,5]$，故补集为 $(-\infty ,-1)\cup (5,+\infty )$。
3. 不是同一函数。$g$ 的原分母要求 $x\ne 2$，而 $f$ 在 $x=2$ 有定义；即使化简后的式子同为 $x+2$，定义域仍不同。
4. $uv\le ((u+v)/2{)}^2=25$，在 $u=v=5$ 时取等号。
5. 令 $(x+1)/(x-2)\ge 0$，且 $x\ne 2$；符号表得 $(-\infty ,-1]\cup (2,+\infty )$。
6. 开口向上且判别式 $4k^2-16\le 0$，故 $-2\le k\le 2$。
7. 路程为 $60\times 2=120$ km；耗油量为 $120/12=10$ L。
8. $u,v$ 是 $z^2-13z+40=(z-5)(z-8)=0$ 的根，因此为 $5,8$。逆推候选还要检查它们是否符合上一步集合的元素要求，并正向确认和、积分别为 $13,40$。